2017北京中考（倒二）压轴（几何背景）图文解析
2017北京中考（倒二）压轴（几何背景）图文解析
（2017北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.
图文解析：
（1）先证：∠Q＝∠PAC＝α.如下图示：
方法一：分别在Rt△APC和Rt△QPH中，根据“直角三角形两锐角互余”，得：∠Q＝90°－∠1，∠PAC＝90°－∠1，从而∠Q＝∠PAC＝α.
方法二：分别在Rt△APC和Rt△QPH中，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内容和”，得：∠APB＝90°+∠PAC，＝90°+∠Q，从而∠Q＝∠PAC＝α.
再求∠AMQ的大小，如下图示：
在△BQM中，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内容和”，得：∠AMQ＝∠B+∠Q＝45°+α.
延伸：若点P在直线BC上呢？并画出相应的图形.（解法类似）
（2）先探索：线段MB与PQ之间的数量关系.可以将P点特殊化.当P点与B点重合时，如下图示：
显然，△PAQ为等直角三角形，因此PQ＝根号2×MB，即MB＝2分之根号2×PQ.再通过度量，大胆猜想：MB＝2分之根号2×PQ.
动态验证（动画自动演示，不可点击）.
由“根号2”自然联想到“45°的角（或等腰直角三角形）”，当然应该与BM和PQ紧密相关的45°的角，同时PQ＝2PC＝2CQ，只要与PC、BM或CQ相关的角即可。由于∠B是现成的45°的角，可加以充分利用，由此可添加如下图所示的辅助线：
由已知可得AP＝AQ，PQ＝2PC＝2CQ，同时△BME是等腰直角三角形，得到BM＝根号2×ME.接着只须考虑：ME＝CP（或CQ）？可找到对应的两个三角形，如下图示：
显然已有∠1＝∠2，∠3＝∠4，只需再一对应边相等，就可以了。结合已有条件AP＝AQ，只需证明AQ＝QM即可.
如上图示，不难证得：∠QAB＝45°+∠2，∠AMQ＝45°+∠1，∠1＝∠2，从而∠QAB＝∠AMQ，得到AQ＝AM，进一步得到AP＝QM，从而得到△ACP≌△QME，所以ME＝CP，因此：
拓展：若点P在直线BC上呢？
观察动态演示：
（解法类似，结论完全相同。）
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